Jika diketahui suku barisan aritmatika bersifat \( x_{k+2} = x_k + p \) dengan \( p \neq 0 \) untuk sembarang bilangan asli positif \(k\), maka \( x_3+x_5+x_7+\cdots+x_{2n+1} = \cdots \)
- \( \frac{pn^2+2nx_2}{2} \)
- \( \frac{2pn^2+2nx_2}{2} \)
- \( \frac{pn^2+2x_2}{2} \)
- \( \frac{2pn^2+nx_2}{2} \)
- \( \frac{pn^2+2pnx_2}{2} \)
(Soal UTBK-SBMPTN 2019)
Pembahasan:
Untuk deret \( x_3+x_5+x_7+\cdots+x_{2n+1} \) kita peroleh suku pertama adalah \(x_3\) dan beda \(2b\). Dari soal diketahui \( x_{k+2} = x_k + p \), sehingga diperoleh:
\begin{aligned} x_{k+2} &= x_k + p \\[8pt] x_{k+2}-x_k &= p \\[8pt] x_{k+2}-x_k &= 2b \\[8pt] p &= 2b \end{aligned}
Dari hasil di atas, maka kita dapatkan hasil berikut:
\begin{aligned} S_n &= x_3+x_5+x_7+\cdots+x_{2n+1} \\[8pt] &= \frac{n}{2} (2a+(n-1)b) \\[8pt] &= \frac{n}{2} (2x_3+(n-1)p) \\[8pt] &= \frac{n}{2}(2(x_2+b)+(n-1)p) \\[8pt] &= \frac{n}{2}(2x_2+2b+pn-p) \\[8pt] &= \frac{n}{2}(2x_2+p+pn-p) \\[8pt] &= \frac{n}{2}(2x_2+pn) \\[8pt] &= \frac{2nx_2+pn^2}{2} \end{aligned}
Jawaban A.